Hình 1: Các vector vận tốc tại thời điểm t và t + dt, vật di chuyển từ trên quỹ đạo đến vị trí mới. Vì vận tốc cố định về độ lớn v = r ω, các vectơ vận tốc quét ra một cung tròn theo tỷ lệ với ω. Khi "dt" → 0, vector gia tốc a trở nên vuông góc với v, có nghĩa là nó hướng về phía tâm của quỹ đạo trong vòng tròn theo hướng bên trái. Góc ωdt là góc rất nhỏ giữa hai vector vận tốc và có xu hướng dt → 0

Phương trình của chuyển động tròn với bán kính quỹ đạo r, chu vi C = 2π r. Chu kỳ T, vận tốc góc ω:

ω = 2 π T   {\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}\ }

Góc θ quét trên mặt phẳng quỹ đạo trong một thời gian t:

θ = 2 π t T = ω t {\displaystyle \theta =2\pi {\frac {t}{T}}=\omega t\,}

Vận tốc

Bởi vì vận tốc v là tiếp tuyến với đường tròn, và không có hai vận tốc điểm trong cùng một hướng. Mặc dù độ lớn của vận tốc không đổi nhưng hướng của nó luôn luôn thay đổi. Sự thay đổi hướng của vận tốc này được gây ra bởi một gia tốc có độ lớn cũng không đổi, nhưng có hướng cũng luôn luôn thay đổi. Gia tốc luôn hướng vào tâm quỹ đạo và vuông góc với vận tốc. Gia tốc này được gọi là gia tốc hướng tâm.

Với quỹ đạo có bán kính r, khi vật di chuyển quét 1 góc θ, thì quãng đường dài di chuyển của vật trên quỹ đạo sẽ là s = rθ. Do đó, vận tốc là:

v = r d θ d t = r ω = 2 π r T {\displaystyle v=r{\frac {d\theta }{dt}}=r\omega ={\frac {2\pi r}{T}}} ,

vì là chuyển động tròn đều nên vận tốc góc ω không đổi, cho nên vận tốc v cũng không đổi.

Gia tốc hướng tâm

Vòng tròn bên trái trong hình 1 là quỹ đạo cho thấy các vectơ vận tốc tại 2 điểm liền kề. Vòng tròn bên phải hình là hai vận tốc di chuyển để trùng vào nhau (dt → 0). Bởi vì vận tốc góc không đổi, vectơ vận tốc cũng quét ra một vòng tròn tương tự. Đối với một góc quét dθ = ωdt sự biến đổi của v sẽ là một vector vuông góc với v và có độ lớn bằng vdθ, do đó độ lớn của gia tốc được tính bởi phương trình:

a = v d θ d t = v ω = v 2 r . {\displaystyle a=v{\frac {d\theta }{dt}}=v\omega ={\frac {v^{2}}{r}}\,.}

Các vector

Hình 2: Các vector trong chuyển động tròn đều. Vector Ω miêu tả chuyển động tròn trong một mặt phẳng quỹ đạo.

Các mối quan hệ vector được thể hiện trong hình 2. Trục quay được hiển thị như là một vector Ω vuông góc với mặt phẳng quỹ đạo và có độ lớn ω = dθ / dt. Chiều của vector Ω tuân theo quy tắc bàn tay phải. Vector vận tốc được tính theo phép tích vector:

v = Ω × r {\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} \,}

là một vector vuông góc với cả hai vector Ω và r (t), tiếp tuyến với quỹ đạo và có độ lớn bằng ω r. Tương tự, vector gia tốc được tính theo công thức:

a = Ω × v = Ω × ( Ω × r ) {\displaystyle \mathbf {a} ={\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} ={\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} \right)\,}

là một vector vuông góc với cả hai vector Ω và v (t) với độ lớn bằng ω |v| = ω2 r và ngược hướng với vector r (t).[1]

Quan hệ với dao động điều hòa

Hình chiếu của 1 điểm chuyển động tròn đều xuống một trục nằm trong mặt quẳng quỹ đạo là một dao động điều hòa. Ngược lại, bất kỳ một dao động điều hòa nào cũng có thể biểu diễn bằng 1 vector có mũi chuyển động tròn đều với vận tốc góc ω=2π/T trong đó T là chu kỳ của dao động điều hòa, độ lớn vector là biên độ dao động, góc tạo với trục tọa độ là pha ban đầu.